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Der Mathematikgarten und die 5 Platonischen Körper

Der Mathematik-Garten ist ein Ort unter freiem Himmel mit Objekten (5 Platonische Körper), die zu Fragen zur Mathematik und deren Beantwortung animieren. Lage, Ausmaß, Anordnung, Material und Konstruktion der ausgestellten Objekte sowie Begehbarkeit der Anlage haben Bedeutung. Und wenn in 40 000 Jahren vernunftbegabte Wesen im Schutt unserer Zivilisation diese 5 Objekte finden, aufgestellt in einem magischen Kreis, dessen Umfang aus 220 Steinen, der Durchmesser aus 70 Steinen gelegt wurde, werden sie es vielleicht für eine Kultstätte halten oder ein Patriziergrab, doch sie werden einräumen, dass unsere Gesellschaft auf eine Art vernunftbegabt war.

Im Garten von U. Mikloweit findet man Polyeder Modelle aus Papier: Platonische Polyeder, Archimedische Polyeder und andere Polyeder Modelle. Sehr sehenswert.

http://www.polyedergarten.de

Dyskalkulie existiert fraglos in ihrer klar umrissenen Form als Schwäche, bestimmte Formen der Abstraktion, wie sie in der Mathematik vorkommen, zu erfassen. Sie ist klinisch exakt bestimmbar und tritt zum Teil isoliert, zum Teil als einzelnes Symptom eines Komplexes auf, wobei die anderen kognitiven Fähigkeiten zur Handlungsplanung wie Gedächtnis, optische Wahrnehmung, Konzentrationsfähigkeit, Aufmerksamkeit etc. normal entwickelt sind. Diese Dyskalkulie ist aber so selten, dass sie nicht wirklich relevant für den Schulalltag ist.

Was uns aber heutzutage landläufig als Dyskalkulie präsentiert wird, ist meist ein Artefakt, ein Symptomkomlex festgestellt von Lehrern an Schülern, die sie nicht verstehen, mit Genese aus kulturellen Unzulänglichkeiten (Zahlendreher), Missverständnis von Mathematik auf Seiten der Lehrern (deren Fähigkeiten bei höherem Rechnen und exaktem Rezepteanwenden enden) und schlichtem Missbrauch der Mathematik als “objektives” Selektionswerkzeug (sowohl bei der Rechtfertigung von Noten, Durchschnitten etc. als auch im Missverständnis, eine “exakte” Wissenschaft wie die Mathematik berge den Vorteil der leichten Abprüfbarkeit (wie Vokabellisten oder das kleine 1×1)).

Desweiteren resultiert die Idee der Dysklalkulie aus dem Unverständnis der Komplexität z.B. der Zahlenwelt und der Anmassung, mit guter Kenntnis der (dezimalen) Notationen und deren Tranformation und Verknüpfung schon einen vollständigen Einblick in die Geheimnisse der Zahlen zu haben, welcher in Wirklichkeit ein allenfalls rudimentärer ist.

Ignoriert werden die enormen Anstrengungen und Fehlschläge der Geschichte der Mathematik (vgl. Felix Klein, Festschrift), diese Mysterien in den Griff zu bekommen, erstickt werden die Ahnungen der Schüler von der Komplexität und Tiefe dieser Welt mit banalen Übungen die sich auf die Oberfläche beschränken. Indem Antworten vorgegeben werden, wo die Fragen noch gar nicht gereift sind, wird alles planiert und nivelliert.

Stellt man diese oberflächlich paukenden Lehrer in Workshops vor wahrhaft mathematische Fragestellungen, so begegnen einem von ihrer Seite nicht nur Unfähigkeit und Unverständnis, sondern auch Feindseligkeit und Desinteresse.

Stellt man zum Beispiel für die 8 konvexen Deltaeder die wesentlichen Daten wie Zähligkeit, Ecken-, Kanten-, und Flächenzahl e, k, f dar, ergibt sich folgende Tabelle:

e        4      5       6        7         8         9       10              12

k        6      9      12      15      18       21       24              30

f         4      6        8      10      12      14        16              20

Sucht man nach Strukturen oder Zusammenhängen in dieser Tabelle, fällt z. B. auf, dass nur gerade Flächenzahlen, nämlich 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 20 vorkommen. Die Flächenzahl 18 ist nicht dabei.

Der bedeutendste Zusammenhang liegt in der Tatsache, dass bei jedem Körper die Summe aus Ecken- und Flächenzahl die Kantenzahl um 2 übertrifft: e + f = k + 2

Dies ist die bekannte, auf den Schweizer Mathematiker Leonard Euler ( 1707 – 1783 ) zurückgehende Polyederformel, die allerdings meist in der Form

e – k + f = 2

geschrieben wird. Euler selbst gibt zu, dass er keinen schlüssigen Beweis für die Formel angeben kann (vgl.: Euler: LEMENTA DOCTRINAE SOLIDORUM, 1752).

Anschaulicher Beweis der Eulerschen Polyederformel

Von der Richtigkeit der Eulerschen Polyederformel kann man sich auf anschauliche Weise überzeugen: Baut man einen Deltaeder, z. B. einen Ikosaeder, schrittweise ab, und entfernt zunächst ein Dreieck, so erhält man ein vasen- oder schalenförmiges Gebilde. Da jetzt eine Fläche fehlt, gilt nur noch e – k + f = 1 .

Fährt man mit dem Abbauen fort und achtet darauf, dass das zu entfernende Dreieck jeweils vom Rand des schalenförmigen Gebildes weggenommen wird, so stellt man fest, dass nach jedem Schritt immer noch e – k + f = 1 ist. Zuletzt bleibt von dem Körper ein Dreieck, also ein Gebilde mit drei Ecken, drei Kanten und einer Fläche, übrig, für welches die Gleichung e – k + f = 1 offenbar gültig ist. Deshalb sind auch die vorigen Gleichungen gültig , und es ist insbesonders e – k + f = 2.

Die obigen Überlegungen kann man selbstverständlich auf jedes konvexe Deltaeder, auf die Platonischen Körper und allgemein auf jedes konvexe Polyeder übertragen, womit der Beweis beendet wäre.

Für den Bau der folgendenden Polyeder ( gr.: Vielflächner ) kann man das Material “Polydron” der gleichnamigen englischen Firma verwenden. Es besteht im wesentlichen aus Plastikteilen in Form von ebenen regelmäßigen Vielecken ( Dreiecke, Vierecke, Fünfecke, Sechsecke,…), welche sich zu ebenen oder räumlichen Gebilden zusammenfügen lassen.

Seit dem Altertum sind die sogenannten Fünf Platonischen Körper bekannt, nämlich Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Didekaeder und Ikosaeder. ( Platon: griechischer Philosoph, 427-347 v. Chr. ) . Der griechische Mathematiker EUKLID (um 300 v. Chr.) zeigte in Buch XIII seiner “ELEMENTE”, dass es nur diese fünf regelmäßigen Körper geben kann.

Die Namen gehen auf das Griechische zurück, und beziehen sich auf die jeweilige Flächenzahl. Das Tetraeder etwa bedeutet Vierflächner, da es durch vier Dreiecke begrenzt wird. Unter den Platonischen Körpern haben wir also jeweils einen 4-, 6-, 8-, 12- und 20-Flächner. Die Bezeichnung “regelmäßig” bei einem Körper bedeutet, dass an jeder Ecke gleich viele kongruente Vielecke zusammenstoßen, (die Ecken also gleiche Zähligkeit aufweisen), und dass er konvex ist, also keine Einbuchtungen aufweist.
Zum Beispiel erfüllt der durch “Einstülpen” des Ikosaeders entstandene Körper nicht die Bedingung der Regelmäßigkeit, weil er nicht konvex ist.

Konvexe Deltaeder
Interessant ist, dass es neben den Platonischen Körpern weitere, aus gleichseitigen Dreiecken aufgebaute konvexe Körper gibt, falls man auch unterschiedliche Zähligkeit der Ecken zulässt.

Konvexe Körper, deren Oberflächen ausschließlich aus gleichseitigen Dreiecken gebildet werden, deren Ecken 3-, 4-, oder 5-zählig sind, und bei denen zwei nebeneinanderliegende Dreiecke nicht in einer Ebene liegen, heißen Deltaeder. Ihre Benennung erfolgte nach dem griechischen Buchstaben Delta, der die Form eines Dreiecks besitzt.

Insgesamt gibt es 8 konvexe Deltaeder.